Divirta-se com alguns problemas interessantes!

Nesta sessão do Boletim Supernova, propomos dois problemas para quem quiser um passar o tempo enquanto espera alguma aula ou toma um café depois do almoço. Caso tenha alguma proposta de solução, envie para boletimsupernova@gmail.com ou para algum dos editores do boletim.

Jogo da pontuação multiplicativa

Considere o jogo em que você pega um número natural k, e o separa em duas parcelas naturais i e k-i, de forma que somadas resultam novamente em k. Nessa operação, você ganha uma pontuação de valor i(k-i), ou seja, a multiplicação das duas parcelas. Você repete esse procedimentos com cada parcela, somando as pontuações, até que todas as parcelas atinjam o valor 1, em que não é mais possível realizar esse procedimento descrito. Então, você soma todas as suas pontuações, como no exemplo abaixo, obtendo sua pontuação total.

Nesse jogo, dado um número inicial, quais pontuações totais são possíveis de serem atingidas?

Problema retirado da palestra “Pure Mathematics as Applied Physics” de Tadashi Tokieda, disponível no Youtube.

Mapas e seus pontos fixos

Seja uma função f: I -> I contínua, sendo I um intervalo da reta real.

Definimos x_o um ponto fixo tal que f(x_o)=x_o e definimos x_1 um ponto de ciclo 2 tal que f(f(x_1)) = f(x_2) = x_1, com x_1 =\ x_2.

Mostre que se I é um intervalo fechado e limitado, então f possui ponto fixo.

Mostre que se f possui ponto de ciclo 2, então f possui um ponto fixo.

Sugestão de leitura: Caso queira estudar como esses pontos fixos podem ser estáveis ou não, e como esse tipo de problema se relaciona com a física, comece lendo o capítulo 1 do livro “Chaos: An Introduction to Dynamical Systems”, de Kathleen T. Alligood.