Divirta-se com alguns problemas interessantes!
Infinitos maiores que outros infinitos
Um conjunto \(X\) é dito enumerável se é finito ou se existe uma função bijetora \(f:X\to \mathbb{N}\).
Mostre que \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\) são enumeráveis. Além disso, mostre que o conjunto das partes de \(\mathbb{N}\) não é enumerável.
Dica: Basta mostrar que
\[ f: \mathbb{N}\to \mathcal P(\mathbb{N)}:=\{A:A\subset\mathbb{N}\}\]
não pode ser sobrejetora; pense no conjunto \(\{n\in\mathbb{N}:n\notin f(n)\}\in\mathcal{P(\mathbb{N)}}\).
A título de curiosidade, dado qualquer conjunto \(X\), não podemos fazer uma bijeção entre ele e o conjunto de suas partes (a demonstração é a mesma!).
Solução do problema “Rendezvous espacial” – Boletim Supernova n° 15
Para resolver esse problema, adotamos o sistema de coordenadas centrado em \(O\) onde \(\hat x = \hat r_o\), \(\hat y = \hat n\), vetor normal à orbita, e \(\hat z = \hat x \times \hat y\), que será na direção anti-paralela a velocidade de \(O\) em relação ao referencial inercial do planeta. Dessa forma, a equação de movimento no referencial girante, considerando apenas a força da gravidade, é
\[\ddot {\vec r} = -\omega^2\left(\frac{r_o}{|\vec r+\vec r_o|}\right)^3(\vec r+\vec r_o) – 2\omega (\hat y \times \dot {\vec r}) -\\- \omega^2(\hat y \times (\hat y\times \vec r)),\]
lembrando que \(\omega = \hat y \sqrt{\frac{GM}{r_o^3}}\) e \(\vec r_o =\hat xr_o\).
Expandindo a equação em cada componente do vetor, obtemos a EDO exata
\[
\begin{cases}
\ddot x = \omega^2 (x+r_o)\left[ 1-\left(\frac{r_o}{|\vec r+\vec r_o|}\right)^3\right] – 2\omega \dot z\\
\ddot y = -\omega^2y\left(\frac{r_o}{|\vec r+\vec r_o|}\right)^3 \\
\ddot z = \omega^2 z\left[ 1-\left(\frac{r_o}{|\vec r+\vec r_o|}\right)^3\right] + 2\omega \dot x\\
\end{cases}
\]
Para resolver de forma aproximada, expandimos \(\left(\frac{r_o}{|\vec r+\vec r_o|}\right)^3\ )em uma série de potencias de \(\Delta r = |\vec r+\vec r_o|-r_o\), e \(\Delta r\) como uma série centrada em \(\vec r = (x,y,z) = (0,0,0)\), obtendo:
\[\left(\frac{r_o}{|\vec r+\vec r_o|}\right)^3 = 1-3 \frac{\Delta r}{r_o} + 12 \frac{\Delta r^2}{r_o^2} + \mathcal{O}(\Delta r^3) \]
\[\Delta r = x + \frac{1}{r_o}\frac{y^2 + z^2}{2}+\mathcal{O}(x+y+z)^3.\]
Desenvolvendo então a EDO até segunda ordem em \(x,y,z\), temos
\[
\begin{cases}
\ddot x = \omega^2 \left[3x + \frac{3}{2}\frac{y^2+z^2-6x^2}{r_o}\right]
&- 2\omega \dot z\\
\ddot y = -\omega^2\left[1-3\frac{x}{r_o}\right]y \\
\ddot z = \omega^2\left[\frac{3xz}{r_o}\right] &+ 2\omega \dot x\\
\end{cases}
\]
Agora, nos restringindo apenas a analisar a EDO em primeira ordem, ficamos com
\[
\begin{cases}
\ddot x = 3\omega^2x &- 2\omega \dot z\\
\ddot y = -\omega^2y \\
\ddot z = &+ 2\omega \dot x
\end{cases}
+\mathcal{O}(x+y+z)^2.
\]
Analisando essa EDO, percebemos que o eixo \(y\) é independente dos outros dois eixos, que possuem movimento acoplado. Além disso, a velocidade angular do referencial \(O\) impõem uma escala de tempo natural, mas não ocorre o mesmo para uma escala de comprimento. Resolvendo, obtemos
\[\begin{cases}
x(t) = 4x_o-\frac{2\dot z_o}{\omega} + \left(2\frac{\dot z_o}{\omega} – 3x_o\right)\cos(\omega t) + \frac{\dot x_o}{\omega}\sin(\omega t)\\
y(t) = y_o\cos(\omega t) + \frac{\dot y_o}{\omega}\sin (\omega t)\\
z(t) = z_o + \frac{2\dot x_o}{\omega} + (6\omega x_o – 3\dot z_o)t -\frac{2\dot x_o}{\omega}\cos (\omega t) + \left(\frac{4\dot z_o}{\omega}-6x_o\right)\sin (\omega t)
\end{cases}\]
Para ter uma noção das trajetórias obtidas, a figura seguinte mostra 4 trajetórias que passam pela origem após \(\Delta t = \pi/2\omega\). Perceba como a trajetória que inicia atrás da origem, \(x=0, z>0\), precisa primeiro diminuir seu raio, para então ganhar velocidade e alcançar a origem. Já a trajetória que começa com raio maior, \(z=0, x>0\), além de velocidade na direção \(-\hat x\), inicialmente também possui velocidade em \(\hat z\), de forma que ao descer para uma órbita de menor raio e ganhar velocidade, esta compense a velocidade na direção contrária da orbita. A segunda figura mostra outras trajetórias para alcançar a origem estando atrás dela, a depender da duração da manobra. Perceba como no caso de \(\Delta t = 2\pi/\omega\), a velocidade inicial para alcançar a origem é na direção oposta ao vetor \(\vec r\).
Legendas:
(a) Trajetórias que passam pela origem após \(\Delta t = \pi/2\omega\), em diferentes posições relativas à origem.
(b) Trajetórias que alcançam a origem partindo de um ponto atrás dela, variando o tempo de chegada.
Referências
[1] LUO, Yazhong; ZHANG, Jin; TANG, Guojin. Survey of orbital dynamics and control of space rendezvous. Chinese Journal of Aeronautics, v. 27, n. 1, p. 1-11, 2014.
[2] CLOHESSY, William Hillick; WILTSHIRE, R. S. Terminal guidance system for satellite rendezvous. Journal of the aerospace sciences, v. 27, n. 9, p. 653-658, 1960.}
Sobre o autor:
Hugo Menhem é aluno do bacharelado e gosta de mecânica orbital.