Esse exercício foi usado em uma prova substitutiva em 2020. O Cefisma te convoca a resolver e ajudar nos estudos de outras pessoas
3. Uma partícula de massa \( m \) presa a uma mola de constante elástica \(k \), num meio com viscosidade \( b \) , pode se mover na direção do eixo \( y \) . Sobre ela é então aplicado uma força externa dada por \(F = F_{0} sen(\omega t + \frac{3π}{2}) \)na mesma direção do seu movimento. Partindo da sua posição de equilíbrio e com velocidade inicial \(v_{0} \).
- a) Obtenha a equação horária \( y(t) \)da partícula. Indique a solução estacionária e a solução transiente deste problema. Discuta.
- b) Determine a velocidade \( v(t) \)e a aceleração \(a(t) \).
- c) Como varia a amplitude desse movimento se a frequência angular \( \omega \) for variada de forma a se aproximar de \( \omega_{0} \) tal que \( \omega_{0}^2 = \frac{k}{m} \). Discuta o fator de qualidade.
\( — \)
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A resultante das forças sobre a partícula é dada por \(F=F_0\sin\left(\omega t+\frac{3\pi}{2}\right)-ky(t)-by'(t)\), que é a soma da força elástica, viscosidade do meio e força externa. Utilizando a segunda Lei de Newton obtemos uma equação diferencial para a posição do corpo:
\[
F = my”(t) =F_0\sin\left(\omega t+\frac{3\pi}{2}\right)-ky(t)-by'(t)
\qquad (1)
\]
a)
Para encontrar a posição do corpo no tempo \(y(t)\) resolvemos a equação diferencial. Primeiro resolvemos a equação homogênea, ou seja, retiramos os termos que dependem explicitamente do tempo, restando os termos que dependem de \(y(t)\). No caso da nossa equação, isso equivale a resolver o caso sem forçamento externo:
\[ y”(t) + \frac{k}{m}y(t) + \frac{b}{m}y´(t) = 0\]
Definimos \(\frac{k}{m}=\omega_0^2\) e \(\frac{b}{m}=\gamma\) por simplicidade, e obtemos:
\[ y”(t) + \gamma y'(t) +\omega_0^2 y(t)=0 \qquad(2)\]
Assumimos que a solução é do tipo \(y(t)=e^{\lambda t}\), colocando esse “chute” na Equação (2), obtemos:
\[
\lambda^2e^{\lambda t}+\gamma\lambda e^{\lambda t}+\omega_0^2e^{\lambda t}=0
\]
Como todos os termos estão multiplicados por \(e^{\lambda t}\) e esse termo nunca é zero, então podemos dividir tudo por esse termo:
\[
\lambda²+\gamma\lambda+\omega_0^2=0
\qquad (3)
\]
Resolvendo a equação de segundo grau obtemos duas soluções:
\[
\frac{
-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-4\omega_0^2}
}
{2}
=
-\frac{\gamma}{2}\pm \alpha
\]
Como \(b\), \(m\) e \(k\) dados no enunciado são grandezas que só assumem valores positivos, temos que \(\gamma\) e \(\omega_0\) são positivos também. Caso \(\gamma>2\omega_0\), então a equação possui duas soluções reais, e caso \(\gamma=\omega_0\) existe apenas uma raíz, com multiplicidade dois. No entanto, ambos os casos não são oscilatórios, pois a posição \(y(t)\) tem a forma de soma de exponenciais.
No caso de \(\gamma>2\omega_0\), a posição toma a forma \(y(t)=Ae^{-\frac{\gamma}{2}t+\alpha t}+Be^{-\frac{\gamma}{2}t-\alpha t}\).
No caso de \(\gamma=2\omega_0\) temos \(y(t) = Ae^{-\frac{\gamma}{2}t}+Bte^{-\frac{\gamma}{2} t}\).
Em geral, nos interessamos pelo caso oscilatório, que corresponde à \( \gamma \leq 2 \omega_0 \). Nesse caso, as raízes da equação quadrática são complexas e a posição toma a forma \(y(t)=A’e^{-\frac{\gamma}{2}t+i\sqrt{4\omega_0^2-\gamma^2} t}+B’e^{-\frac{\gamma}{2}t-i\sqrt{4\omega_0^2-\gamma^2} t}\), que definindo \(\alpha’=\sqrt{4\omega_0^2-\gamma^2}\), pode ser reescrito como:
\[
y(t)
=
e^{-\frac{\gamma}{2}t}
\left[
A\cos(\alpha’ t)+
B\sin(\alpha’ t)
\right]
\qquad (4)
\]
A Equação (4) é a solução do caso homogêneo. Note que essa solução tem amplitude que decai no tempo devido à exponencial \(e^{-\frac{\gamma}{2}t}\), por isso é chamada de solução transiente.
Agora queremos encontrar uma solução particular do caso não-homogêneo, ou seja achar uma solução qualquer da Equação (1). Reescrevemos ela por simplicidade como:
\[
y”(t)+\gamma y'(t)+\omega_0^2y(t) =
\frac{F_0}{m}\sin\left(\omega t+\frac{3\pi}{2}\right)
\qquad(5)
\]
Tomando \(y(t)=A\cos\left(\omega t\right)+B\sin\left(\omega t\right)\), temos:
\[
\omega_0^2y(t) =
\omega_0^2 \left[
A\cos\left(\omega t\right)+B\sin\left(\omega t\right)
\right]
\\
\gamma y´(t) =
\gamma \omega\left[
B\cos\left(\omega t\right)
-A\sin\left(\omega t\right)
\right]
\\
y”(t) =
-\omega^2
\left[
A\cos\left(\omega t\right)+
B\sin\left(\omega t\right)
\right]
\]
Na Equação (5), somamos os três termos acima e queremos que os termos que dependem de cosseno se cancelem, e que os termos de seno somados resultem em \(\frac{F_0}{m}\sin\left(\omega t+\frac{3\pi}{2}\right)\). Para que isso aconteça, temos que:
\[
A=
\frac{
\frac{F_0}{m}(\omega_0^2-\omega^2)
}{
(\omega_0^2-\omega^2)+\gamma^2\omega^2
}
\\
B=
\frac{
\frac{F_0}{m}\gamma\omega
}{
(\omega_0^2-\omega^2)+\gamma^2\omega^2
}
\]
Para simplificar a solução particular podemos definir um \(\phi\) e um \(R\) de forma que:
\[
y(t)=
\frac{F_0}{mR}
\cos\left(
\omega t+\phi
\right)
\\
\phi=\frac{3\pi}{2}+\arctan
\left(
\frac{\gamma\omega}{\omega_0^2-\omega^2}
\right)
\qquad (6)
\\
R=\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}
\]
A função acima é a solução particular da equação não homogênea. Diferentemente, da solução transiente, essa não decai no tempo, mas se mantém sempre com mesma amplitude, por isso é conhecida como solução estacionária.
Por fim, somamos as Equações(4) e (6) (soluções homogênea e particular da não-homogênea) para obter a solução geral:
\[
y(t)=
e^{-\frac{\gamma}{2}t}
\left[
A\cos(\alpha ‘ t)+B\sin(\alpha’ t)
\right]
+
\frac{F_0}{mR}\cos(\omega t+\phi)
\qquad (7)
\\
y'(t)=
-\frac{\gamma}{2}e^{-\frac{\gamma}{2}t}
\left[
A\cos(\alpha ‘ t)+B\sin(\alpha’ t)
\right]
+
\alpha’ e^{-\frac{\gamma}{2}t}
\left[
B\cos(\alpha ‘ t)-A\sin(\alpha’ t)
\right]
-\frac{F_0\omega}{mR}\sin(\omega t+\phi)
\qquad (8)
\]
Onde \(A\) e \(B\) são constantes definidas pelas condições iniciais do problema. As demais constantes são definidas a partir dos parâmetros físicos do sistema \(\alpha’=\sqrt{4\omega_0^2-\gamma^2}\), \(R\) e \(\phi\) conforme a Equação (6).
Finalmente, resta utilizar as condições iniciais para obter os valores de \(A\) e \(B\). Sabemos que no tempo \(t=0\) a partícula está na posição de equilíbrio \(y(0)=0\) e velocidade \(y'(0)=v_0\). Substituindo \(t=0\) nas Equações (7) e (8) obtemos os valores das constantes:
\[
A=
-\frac{F_0}{mR}\cos(\phi)
\qquad (9)
\\
B=
\frac{1}{\alpha’}
\left[
\frac{\gamma}{2}A+\frac{F_0\omega}{mR}\sin(\phi)
\right]
=
\frac{F_0}{\alpha’mR}
\left[
\omega\sin(\phi)
-\frac{\gamma}{2}\cos(\phi)
\right]
\qquad (10)
\]
Podemos ver que o movimento de um oscilador harmônico amortecido e com forçamento periódico é uma oscilação com amplitude que decai exponencialmente no tempo, somada a um movimento períodico com frequência igual à frequência de forçamento. A solução estacionária é a oscilação ligada ao forçamento externo, enquanto a solução transiente está ligada à oscilação de amplitude que decai.
b)
No item anterior obtivemos a posição do sistema em função do tempo \(y(t)\) e a velocidade \(y'(t)\), de acordo com as Equações (7)-(10). Para obter a aceleração \(y”(t)\) basta derivar a velocidade encontrada na Equação (8):
\[
y”(t)
=
e^{-\frac{\gamma}{2}t}
\left[
\frac{\gamma^2}{4}
–
\alpha’^2
\right]
\left[
A\cos(\alpha’t)+B\sin(\alpha’t)
\right]
–
2\alpha’\frac{\gamma}{2}e^{-\frac{\gamma}{2}t}
\left[
B\cos(\alpha’t)-A\sin(\alpha’)
\right]
–
\frac{F_0\omega^2}{mR}\cos\left(
\omega t+\phi
\right)
\qquad (11)
\]
c)
No limite de \(\omega\to\omega_0\) olhamos para a Equação (7) e notamos que o único termo que alterado pelo limite, é o termo final, associado ao forçamento externo, para analisar esse termo utilizamos a Equação (6). Nela vemos que as definições de \(\phi\) e \(R\) são afetadas por esse limite.
No limite, temos:
\[
R=\gamma\omega=\gamma\omega_0
\\
\phi=
\frac{3\pi}{2}+
\lim_{\omega\to\omega_0}
\arctan\left(
\frac{\gamma\omega}{\omega_0^2-\omega^2}
\right)
=
\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{2}
\]
Nesse caso, o termo \(R\) é máximo, o que indica que o forçamento tem efeito máximo (o efeito do forçamento é inversamente proporcional à \(R\)). Além disso, \(\phi=\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\) indica que o movimento da partícula está defasado em exatamente \(\frac{\pi}{2}\) em relação ao forçamento. Esse limite \(\omega=\omega_0\) é o caso no qual o efeito do forçamento sobre a partícula é máximo, esse fenômeno é denominado de ressonância.
O fator de qualidade é definido geralmente como \(Q=\frac{\omega_0}{\gamma}\) então no nosso caso é \(Q=\frac{\sqrt{mk}}{b}\). Essa definição não está relacionada com o forçamento e é uma definição ligada ao oscilador em si. Para valores de \(Q>0.5\) o sistema é subamortecido (que assumimos que é o nosso caso), para sistemas com \(Q=0.5\) dizemos que é criticamente amortecido, e para \(Q<0.5\) o sistema é superamortecido.